ja_mageia

Os egípcios, mesopotâmios e chineses sabiam construir triângulos-retângulos com as medidas “3, 4, 5”, e já faziam isso milênios antes de Pitágoras demonstrar seu teorema. Porém não sabiam “provar” que (se a figura estivesse numa superfície plana ortonormal contínua) o ângulo resultante era exatamente reto. Sabiam que era suficientemente semelhante a um ângulo reto para todos os fins práticos de que precisavam para suas construções, e isso bastava. De modo geral, em Engenharia, em Estatística e em assuntos que envolvem aplicação da Matemática, pode-se saber que algo funciona na prática sem que se tenha uma demonstração rigorosa, ou sequer uma conjectura.

Hoje o amigo André Gâmbaro me enviou link para um artigo sobre a “descoberta” de que o Mercado Financeiro não tem estacionariedade constante e pode-se medir essa estacionaridade ao longo do tempo:

http://www.inovacaotecnologica.com.br/noticias/noticia.php?artigo=matematicos-nova-dimensao-distancia-series-temporais&id=010150111103

Isso não é uma descoberta (ou invenção), com toda certeza. Qualquer pessoa que tenha investigado o Mercado Financeiro com um mínimo de seriedade sabe disso há muito tempo. Suponho que James Simons, por exemplo, sabe disso desde os anos 1980, porém não é do interesse dele divulgar esse tipo de informação, por razões óbvias. Se ele ganhar um prêmio Nobel de Economia por uma “descoberta” dessas, apenas cerca de $ 1,5 milhões, deixaria de ganhar bilhões usando a ideia como vantagem competitiva contra os demais operadores. O “prêmio” por compartilhar esse tipo de informação é ínfimo em comparação ao volume que se deixa de ganhar depois de compartilhar a “descoberta”.

Transcrevo o artigo a seguir, em verde, com meus comentários em azul:

Matemáticos descobrem nova dimensão de distância em dados complexos

Jens Wylkop - 03/11/2011

A nova técnica consegue mensurar as diferenças entre um processo estacionário (esquerda) e um processo não-estacionário, como os dados de um eletroencefalograma (direita).[Imagem: Dette et al.]

Estacionariedade

Matemáticos alemães alcançaram um marco na descrição de processos complexos - por exemplo, as oscilações dos preços das ações ou as variações do clima.

O Dr. Holger Dette e seus colegas da Universidade de Ruhr desenvolveram um novo método de análise espectral que permite que uma suposição matemática clássica, chamada estacionariedade (ou estacionaridade) seja medida com precisão.

A técnica torna possível a construção de testes estatísticos que serão consideravelmente melhores e mais precisos do que os métodos atuais.

Estacionária ou não estacionária - eis a questão

Tome como exemplo os preços das ações.

Quase todos os modelos econômicos e ferramentas de previsão "sofrem" porque são baseados em uma premissa falsa.

Eles assumem que a flutuação média dos preços das ações individuais e as características de dependência entre diferentes ações não mudam ao longo do tempo.

Isto tornaria o histórico dos preços das ações um fenômeno "estacionário".

O problema é que esta suposição é errada em tempos de crise.

Esta suposição é errada sempre (não apenas nos tempos de crise), mas o erro se torna mais evidente quando aumenta a disparidade entre a realidade o modelo, e isso ocorre quando algumas propriedades do Mercado (volatilidade e vigor, por exemplo) assumem valores extremos, como nas épocas de crises ou às véspera do auge das bolhas.

Em condições normais de mercado, o preço de uma ação tem pouca influência sobre qualquer outra ação.

Isso não tem relação com estacionariedade. Tem a ver com interdependência dos ativos que compõem o índice. Os diferentes coeficientes de correlação (Pearson, Spearman, Kendall) não são apropriados para medir esse tipo de interdependência e geralmente fornecem valores abaixo das verdadeiras interdependências existentes.

Mas basta que chegue uma crise para que os preços de todas as ações caiam juntos. Neste caso, o mesmo processo é não-estacionário.

Quando há uma tendência de alta ou baixa relativamente vigorosa, persistente e suficientemente longa em relação ao intervalo no qual a aferição é realizada, os coeficientes de correlação tornam-se representações muito mais realistas do nível de interdependência entre os ativos do que quando o Mercado estava lateral ou em congestão. Isso não significa que todos os preços passaram a cair juntos, ou que a interdependência aumentou, nem nada parecido. Significa que com movimentos mais persistentes e longos numa mesma direção, os ruídos que interferem nas medidas passam a desempenhar um papel menos relevante do que quando o Mercado estava oscilando com menor amplitude, e passam a mascarar menos a real interdependência das variáveis. Num artigo de 2004, sobre coeficiente de homogeneidade entre testes discursivos e de múltipla escolha, discuti esse mesmo tema, em que a homogeneidade real num teste de múltipla escolha é maior do que a medida pelo alfa de Cronbach, e para manter paridade com a homogeneidade medida num teste discursivo (ou com maior número efetivo de alternativas por item) deve-se fazer um ajuste que desconte o efeito dos ruídos. Um ajuste mais refinado precisa considerar ainda a quantidade nominal de alternativas por item e comparar com a quantidade efetiva de alternativas por item. A filtragem dos ruídos nos dados pode ser feita de diversas maneiras e com diferentes consequências. O Mercado Financeiro não se torna não-estacionário quando ocorrem crises ou bolhas. Apenas fica mais evidente essa propriedade nesse tipo de cenário porque a relação sinal/ruído aumenta.

A solução: uma dimensão de distância

Os matemáticos encontraram a chave para este paradoxo calculando uma medida de distância entre o processo estacionário e o não-estacionário, que eles chamam de uma "nova dimensão de distância".

Não há paradoxo nisso. Sem ver o artigo original, fica difícil opinar sobre o que exatamente foi feito. Em www.arxiv.org não há artigo de Holger Dette ligado ao tema. Mas o termo “distância” soa como impróprio nesse contexto.

"Exatamente como podemos determinar as distâncias entre dois lugares na Terra, nós conseguimos medir as distâncias ou os intervalos entre os processos", disse o Prof. Dette.

Não faço ideia do que ele quis dizer com isso. Distâncias de Manhattan, Euclidiana, Minkowski, Mahalanobis etc. são usadas não exatamente como para medir distância entre dois lugares na Terra. Distâncias de Kerr-Neuman prestam-se a uma finalidade também diferente (ergosferas e imediações de buracos-negros), e também não são como as usadas para medir algo na Terra, seja considerando apenas a topologia, seja tratando como um espaço Riemanniano, seja considerando todas as deformações relativísticas provocadas pela gravidade variável em cada região da superfície. Apenas as distâncias Euclidiana e de Minkowski podem ser igualadas às medidas de distância na Terra se o espaço for tratado como ortonormal, que não é uma representação exata, portanto em nenhum caso se mede exatamente como a distância de dois lugares na Terra. Uma nova maneira de medir distâncias ou um novo conceito de distância dificilmente mudaria algo no que diz respeito a medir como se faz próximo à superfície da Terra. Não sei o que ele quis dizer, mas o que está escrito não procede.

A medida é exatamente 0 quando a suposição de estacionariedade se aplica ao processo.

Talvez o que ele teve a intenção de dizer é que criou uma medida de coeficiente de estacionaridade ou algo assim. Em lugar de tratar os processos aleatórios dicotomicamente, ele provavelmente propôs numa função contínua que mede o nível dessa propriedade. Não diria que isso é uma “descoberta”, mas sim uma “invenção” de uma das maneiras possíveis de medir estacionariedade. Talvez seja a mais apropriada para algumas finalidades, conforme ele afirmou. Aliás, a afirmação não disse “para algumas finalidades”, deu a entender que seja sempre melhor. Acho isso bastante discutível, mesmo sem saber direito o que foi feito. Até poucos anos atrás, considerava-se que Kolmogorov-Smirnov era uma medida de aderência mais útil e confiável do que Jarque-Bera e outros baseados em Chi-quadrado. De fato, par alguns casos é, mas para outros é mais apropriado usar medidas de Chi-quadrado. Para determinar a qualidade óptica de telescópios, por exemplo, o erro de superfície pode ser medido de modo equivalente a K-S (pico ao vale) ou como Chi-quadrado (RMS). Para alguns casos, Pico ao Vale é uma informação mais útil, sobretudo se há alguma deformidade local muito grande e todo o resto da superfície óptica está boa. Mas em geral as medidas RMS são indicações mais importantes sobre a qualidade óptica, especialmente quando a varredura da superfície inclui pelo menos alguns milhares de pontos distribuídos uniformemente.

Esta distância pode ser estimada a partir dos dados e, portanto, fornece uma ferramenta confiável para a análise espectral das chamadas séries temporais, como os preços das ações ou os dados climáticos.

Sem saber detalhes do que ele fez, novamente fica difícil opinar. Mas a abrangência de um método para medir estacionaridade é mínima. Essa é apenas uma das diversas propriedades que precisam ser consideradas para preservar a validade dos parâmetros que definem os critérios de operação de uma estratégia. Além disso, a própria estacionaridade é desmembrada em diversas sub-propriedades mais fundamentais, algumas das quais precisam ser conhecidas individualmente (a estacionaridade está relacionada a um conjunto de propriedades, não é ela própria uma propriedade fundamental), bem como suas variações ao longo do tempo, para que se possa ter alguma chance de sucesso com os prognósticos de como o Mercado se comportará. Creio que o mérito de Holger seja comparável ao de Tales de Mileto, quando demonstrou que o diâmetro divide um círculo em duas metades iguais. Todos já sabiam disso, porém Tales foi o primeiro a dar uma prova formal desse fato. Mais do que isso, Tales chamou a atenção para a necessidade de se fazer demonstrações daquilo que se julgava saber, porque muitas vezes quando se acredita em algo não demonstrado, com base apenas em indução finita e analogias, a crença pode estar errada. No âmbito da Matemática e da Lógica, as demonstrações são fundamentais para a construção do conhecimento. No mundo físico a situação muda, porque não existem demonstrações. Há apenas corroborações. Nunca se pode conhecer exatamente nada sobre o mundo físico, apenas se pode adotar modelos que sejam razoavelmente adequados para representar determinados fenômenos. As órbitas dos planetas não são elípticas, por exemplo, mas a elipse é uma figura razoavelmente boa e suficientemente simples para descrever o movimento planetário com um certo limite de acurácia. Para melhorar um pouco a acurácia, precisa-se complicar bastante o modelo, com precessões equinociais, draconíticas, anomalísticas e outras perturbações.

Isso faz com que a importância de algumas demonstrações no mundo real seja bem menor do que no mundo abstrato e exato da Matemática pura, sobretudo em casos como no Mercado Financeiro, que opera-se buscando pouco mais de 50% ou 55% de acertos, sem esperanças de chegar muito acima de 90% ou 95% (mantendo ratio 1:1 entre tamanho do lucro em cada acerto e perda em cada erro). Já na Matemática busca-se soluções exatas, em Astronomia e Física consegue-se acurácia de 99,999999999999% em algumas constantes, em Engenharia se consegue frequentemente mais de 99,9%. Nessas áreas, as demonstrações formais acabam desempenhando um papel mais importante.

"O objetivo da análise estatística de séries temporais é sempre entender as dependências subjacentes para depois fazer as previsões mais precisas possíveis para o comportamento futuro desses processos", disse o Prof Dette.

Não necessariamente. Alguns objetivos do estudo de séries temporais podem estar relacionados ao comportamento global das séries, sem a finalidade de prever o comportamento no futuro. Em processos de Weiner e outros, pode-se modelar apenas algumas das propriedades do comportamento futuro. É possível modelar propriedades suficientes para “ganhar” consistentemente num mercado que evolua como um processo de Weiner. É mais fácil, em alguns aspectos (requer menos informações sobre as propriedades do Mercado), num mercado que se comporte como um movimento Browniano do que num processo de Weiner. No Mercado real é mais difícil do que num processo de Weiner ou num movimento Browniano ou num processo de Lévy, mas também se consegue ganhar, e para tanto o conceito de “fazer previsões para o comportamento futuro” não é tão simples. Os agentes que determinam o movimento dos preços hoje não são os mesmos que determinavam 40 anos atrás, porém algumas propriedades dos agentes atuais são iguais às dos precedentes, nos quesitos relevantes, e a mudança progressiva desses agentes também obedece a uma regra aparentemente estável ao longo do tempo, de modo que se pode usar o mesmo conjunto de critérios para tomar decisões tanto hoje como 40 anos antes, com eficiência basicamente igual. O cenário muda, diversas propriedades mudam, mas fazendo uma compensação adequada das mudanças nas propriedades relevantes (considerando a maneira como umas interferem nas outras), preserva-se inalterados os parâmetros que possibilitam tomar as decisões. Mais do que isso, quando as propriedades assumem valores inéditos, ainda assim a função pode ser extrapolada até limites relativamente largos e continua a manter os parâmetros configurados de modo a acertar na grande maioria das decisões. E o mais interessante é que com apenas 1 ou 2 anos de dados históricos, já se dispõe de informação suficiente para modelar todos os cenários dos 38 anos seguintes com franca predominância de acertos nas decisões. O nível de estacionariedade do Mercado é um grão de informação que em quase nada interfere na maneira de abordar o problema de como ganhar consistentemente no Mercado a longo prazo. Um dos segredos para ganhar no Mercado é conseguir identificar propriedades que são estáveis ao longo do tempo. Quanto mais propriedades atemporais descobertas, tanto melhor; quanto mais individualizadas puderem ser conhecidas, tanto melhor; quanto mais preciso o conhecimento quantitativo sobre essas propriedades, tanto melhor; quanto mais bem conhecido o efeito da variação de algumas propriedades sobre a variação nas outras, tanto melhor; quanto maior o peso dessas propriedades na determinação do comportamento dos preços, tanto melhor; quanto mais uniforme ao longo do tempo forem estas propriedades, tanto melhor. Além disso, identificar também algumas propriedades que variam com o tempo, mas cuja variação possa ser modelada, representa um segundo passo importante para incrementar a acurácia nos prognósticos. Essas propriedades geralmente não são visíveis nem evidentes, como volatilidade, LTAs, LTBs etc. Isso torna o desafio de descobri-las e modelá-las muito mais fascinante. É preciso algo como uma “tomografia em 3D” (ou mais de 3D, e com dimensões fractais), para conseguir enxergar a maioria dessas propriedades. A “olho nu”, apenas olhando para gráficos, elas permanecem invisíveis. Além disso, estão todas misturadas, é como se tivesse uma figura que representa uma série de Fourrier, e se desejasse descobrir quais os termos mais relevantes na formação daquela figura. Descobrindo aqueles termos, tudo começa a ficar bem claro, compreensível e transparente, e as previsões se tornam naturais. O tipo de estudo necessário para identificar um senoide numa série de Fourrier é bem simples, porque o senoide se repete sempre com mesma amplitude e comprimento, mas no Mercado não, entre outras diferenças.